过程控制工程——双交叉控制系统

有建模

1 问题描述

考虑如下图所示的加热炉，它使用两种不同的燃料来控制工艺介质的炉出口温度，一种燃料是废气，另外一种燃料是燃油。由于废气是免费的，所以要尽可能多地使用。然而，环境保护条例规定废气的使用量不得超过燃烧油的1/4。废气的热值为HVwg，燃油的热值为HVoil。空气/废气的比值为Rwg，空气/燃油的比值为Roil。
a) 设计一套完整的双交叉控制方案来控制工艺介质的炉出口温度。
b) 假设废气的热值随着成分的变化会发生显著的变化。在线测量废气的热值非常困难，然而，实验分析表明气体热值和密度之间存在明确的相关性。假设已安装了一台密度计可以测量密度，因此可测量热值HVwg。试完善上述控制方案以考虑热值HVwg的变化。

2 方案设计

2.1 双交叉控制方案

被控对象是炉出口温度，因为给了热值，因此从能量角度考虑，假设温度控制器TC11输出的量的物理意义是$T$到达$T_{sp}$所需要的功率$W(J/s)$，假设废气热值$HV_{wg}$单位为$J/m^3$，燃料油密度均匀，其热值$HV_{oil}$单位也可为$J/m^3$，两者流量$F$单位均为$m^3/s$

首先我们分析控制器输出$W$，已知所需的功率，要将其转化为燃油和废气的流量，同时要满足尽可能多用废气且废气用量不大于燃料油用量的1/4，即不能全用废气，可以建立以下数学模型
$$
W=HV_{wg}\times F_{ws}+HV_{oil}\times F_{oil}\
F_{ws}\leq\frac{1}{4}F_{oil}\
max\ \ F_{ws}
$$
换算后代入得到
$$
F_{ws}\leq\frac{W}{4HV_{oil}+HV_{wg}}
$$
于是得到了最优解$F_{ws}=\frac{W}{4HV_{oil}+HV_{wg}}$且应始终满足$\frac{F_{ws}}{F_{oil}}=\frac{1}{4}$，因为要使废气尽量多的用，其应尽量取$\frac{1}{4}F_{oil}$

因为是双交叉控制，$W$不仅能转化为燃料的流量的设定值，也应该能转化为空气的设定值，已知需氧量$\frac{F_{air}}{F_{ws}}=R_{wg}$，$\frac{F_{air}}{F_{oil}}=R_{oil}$，那么总的需氧量
$$
F_{air}=R_{wg}\times F_{ws}+R_{oil}\times F_{oil}=\frac{(R_{wg}+4R_{oil})W}{4HV_{oil}+HV_{wg}}
$$
这两种转换仅需添加一个比值即可完成。

由于是双交叉系统，$F_{ws},F_{oil}$和$F_{air}$之间也应该互相控制，其控制关系为

如果$F_{ws},F_{oil}$作为被控，$F_{air}$已知，那么有$F_{air}=R_{wg}\times F_{ws}+R_{oil}\times F_{oil}\ \ \ \ \ \ \ \ \ F_{ws}\leq\frac{1}{4}F_{oil}$，解得$F_{ws}\leq\frac{F_{air}}{4R_{oil}+R_{wg}}$，和W的转换形式上一样，两者也是满足1：4的关系，这在后续分配流量时可以共用一套比例
如果$F_{air}$作为被控，$F_{ws},F_{oil}$已知，$F_{air}=R_{wg}\times F_{ws}+R_{oil}\times F_{oil}$

双交叉控制的核心元件是高选器HS和低选器LS，实现的目标是：当温度应该下降时，先减少燃料量，再减少空气量；当温度应该上升时，先增加空气量，再增加燃料量。这样低选器LS放置在燃料侧，高选器HS放置在空气侧。

其中
$$
K_1=\frac{5W}{4HV_{oil}+HV_{wg}}\
K_2=\frac{(R_{wg}+4R_{oil})W}{4HV_{oil}+HV_{wg}}\
K_3=\frac{5F_{air}}{4R_{oil}+R_{wg}}
$$
然后判断各个控制器的正反作用：

对TC11，由其物理意义，当Tm上升时，需要的功率应该下降，即控制器输出下降，为反作用
对FC22，假设为反作用，当$F_{oil,m}$上升时，输出下降，对燃料应该是气开阀，阀门开度变小，$F_{oil,m}$下降，故为反作用
对FC23，与FC22类似，为反作用
对FC21，假设为反作用，$F_{air,m}$上升时，输出下降，对空气应该是气关阀，阀门开度变大，$F_{air,m}$上升，故为正作用

分析控制过程，当稳定时低选器LS和高选器HS各自的两个输入都是相等的：

当Tm升高时，控制器输出TC11.OP下降，对高选器HS来说输出无变化，对于低选器LS来说输出变小，使得FC22和FC23输出变小，其阀门开度变小，$F_{ws}$和$F_{oil}$变小，然后两者的换算得到的空气流量通向高选器HS，此时HS的两个输入都变小，其输出也变小，然后控制FC21输出变大，阀门开度变小，$F_{air}$变小。如此便实现了温度应该下降时，先减少燃料量，再减少空气量。
当Tm下降时，控制器输出TC11.OP上升，对低选器LS来说输出无变化，对于高选器HS来说输出变大，使得FC21输出变小，其阀门开度变大，$F_{air}$变大，然后换算得到的两个燃料的流量通向低选器LS，此时LS的两个输入都变大，其输出也变大，然后控制FC22，FC23输出变小，阀门开度变大，$F_{ws}$和$F_{oil}$变小。如此便实现了温度应该上升时，先增加空气量，再增加燃料量。