智能控制——模糊控制

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1 问题描述

一、(1) 证明模糊集合运算满足对偶律$\overline{A\cup B}=\overline A\cap \overline B$，$\overline{A\cap B}=\overline A\cup \overline B$

(2)说明模糊集合运算不满足经典集合中的排中律$A\cup\overline A=X$，$A\cap\overline A=\varnothing$

二、考虑与专家控制作业中相同的无人水面艇（USV）航向跟踪控制系统，通过调节舵角$\delta$，使船舶航向 𝜓 能够跟踪时变的参考航向 $𝜓_{𝑟𝑒𝑓}(t)$，参考信号为以下两种：

1、阶跃响应：$\psi_{ref}=0.5\times 1(t)$
2、正弦跟踪：$\psi_{ref}=0.2sin(0.1t)$

(1)设计常规模糊控制器。
(2)将原系统模型转化为仿射非线性形式，设计针对仿射非线性系统的自适应模糊控制器。
(3)仿真与对比分析：在MATLAB/Simulink中仿真实现上述两个控制器，考虑以下三种扰动场景
a)无扰动：𝑑(𝑡)=0
b)存在确定性时变扰动：𝑑(𝑡)=0.1𝑠𝑖𝑛(0.1𝑡)
c)存在随机噪声：𝑑(𝑡)=𝑛(𝑡)（均值为0，方差为0.01的白噪声）
并比较两种控制器在不同场景下的跟踪精度和鲁棒性，讨论优势和局限性。

2 证明题

2.1 证明模糊集合运算满足对偶律

证明：$\overline{A\cup B}=\overline A\cap \overline B$

$$ \mu_{\overline{A\cup B}}=1-\mu_{A\cup B}=1-max\{\mu_A,\mu_B\}\\ \mu_{{\overline A}\cap \overline B}=min\{\mu_{\overline A},\mu_{\overline B}\}=min\{1-\mu_A,1-\mu_B\}=1+min\{-\mu_A,-\mu_B\}=1-max\{\mu_A,\mu_B\}=\mu_{\overline{A\cup B}}\\ $$

证明：$\overline{A\cap B}=\overline A\cup \overline B$

$$ \mu_{\overline{A\cap B}}=1-\mu_{A\cap B}=1-min\{\mu_A,\mu_B\}\\ \mu_{{\overline A}\cup \overline B}=max\{\mu_{\overline A},\mu_{\overline B}\}=max\{1-\mu_A,1-\mu_B\}=1+max\{-\mu_A,-\mu_B\}=1-min\{\mu_A,\mu_B\}=\mu_{\overline{A\cap B}}\\ $$

2.2 证明模糊集合运算不满足排中律、矛盾律

证明：不满足$A\cup\overline A=X$

$$ \mu_{A\cup\overline{A}}=max\{\mu_A,\mu_{\overline{A}}\}=max\{\mu_A,1-\mu_A\}=\mu_A\ or\ 1-\mu_A\neq1=\mu_X $$

证明：不满足$A\cap\overline A=\varnothing$

$$ \mu_{A\cap\overline{A}}=min\{\mu_A,\mu_{\overline{A}}\}=min\{\mu_A,1-\mu_A\}=\mu_A\ or\ 1-\mu_A\neq0=\mu_{\varnothing} $$

3 控制器设计

由上次专家控制得到的建模：$T\ddot{\psi}+KH(\dot{\psi})=K\delta+d(t)$，$H(\dot{\psi})=\alpha\dot{\psi}+\beta\dot{\psi}^3$ ，$T=2.0s，K=0.8s^{-1}、\alpha=1.0、\beta=0.5$

3.1 常规模糊控制器

控制器输出δ范围限制在$\delta\leq|0.5|$

由上次专家控制的规则有：

• 饱和控制：偏差很大时，打满舵，以求最快速度纠正。
• 增强控制：偏差中等且仍在变大，用中等舵角抑制其增长。
• 保守控制：偏差中等但已在缩小，用小舵角柔和纠正，防止超调。
• 精细控制：接近目标，启用类似PID的精细控制，平滑稳定。
• 微调控制：默认情况，施加一个微小恒定的纠正力。

分别定义三个变量的模糊子集：

• e={LP(偏差大且为正)，MP(偏差中等且为负)，SP(接近目标且为正)，UN(默认情况)，SP(接近目标且为负)，MN(偏差中等且为负)，LN(偏差大且为正)}
• ec={P(误差求导为正，N(误差求导为负)}
• u={LP(正方向满舵)，MP(正方向中等舵角)，SP(正方向小舵角)，SSP(正方向精细控制)，UN(默认情况)，SSN(负方向精细控制)，SP(负方向小舵角)，MN(负方向中等舵角)，LN(负方向大舵角)

首先设置u，范围[-0.5，0.5]。当满舵时结果尽量大概率地落在两端极限点处，可用gbellmf函数；其余都可用trimf函数，其中[-0.02，0.02]为默认情况，[0，0.1]为精细控制，[0.05，0.3]为小舵角，[0.15，0.5]为大舵角，0.5为满舵

然后设置e，范围[-1，1] 。参考专家控制的数据>0.5为大偏差，0.5<e<0.2为中等偏差，0.2<e<0.05为小偏差，e<0.05为默认情况

ec使用时重点是区分正负，因此设置为：

然后按照专家控制的规则制定模糊规则，共有14条

ec\e	LN	MN	SN	UN	SP	MP	LP
P	LN	SN	SSN	UN	SSP	MP	LP
N	LN	MN	SSN	UN	SSP	SP	LP

然后导出为fis文件，并且将模型中的控制器改为此控制器。常规模糊控制器建立完毕。

3.2 自适应模糊控制器

先转化为仿射非线性形式，令$x_1=\psi$，$\dot{x_1}=x_2=\dot{\psi}$，$\dot{x_2}=0.4x_2+0.2x_2^3+0.4u$

$$ \ddot{\psi}=0.4\dot{\psi}+0.2\dot{\psi}^3+0.4\delta\\ \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = 0.4x_2 + 0.2x_2^3 + 0.4u \end{cases} $$

• 状态向量$x=[x_1,x_2]^T$
• $f(x)=[x_2,0.4x_2+0.2x_2^3]^T$
• $g(x)=[0,0.4]^T$
• $e=[x_1-y_m,x_2-\dot{y_m}]^T$

接下来需要用模糊系统逼近$\hat f(x)$和$\hat g(x)$，其中$\hat f(x|\theta_f)=\theta_f^T\xi(x)$，$\hat g(x|\theta_g)=\theta_g^T\eta(x)$

两个参数由自适应律$\dot{\theta_f}=-\gamma_1e^TPb\xi(x)$，$\dot{\theta_g}=-\gamma_2e^TPb\eta(x)u$实时更新

控制律为$u=\frac{1}{\hat g(x|\theta_g)}[-\hat f(x|\theta_f)+\ddot{y_m}+K^Te]$

先求K：

对误差矩阵有$\dot{e}=Ae$，$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \ -k_1 & -k_2 \end{bmatrix}$，为让误差最终稳定，A的极点都应该在复平面左侧，A的特征方程$s^2+k_2s+k_1=0$，假设期望极点为$-1,-2$，有$k_2=3，k_1=2$

再设γ：$\gamma_1=10,\gamma_2=5$

再解P：

$\Lambda=\begin{bmatrix} 0 & 1 \ -3 & -2 \end{bmatrix},b=\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$，P为一个正定矩阵满足$\Lambda^TP+P\Lambda=-Q$，Q也是一个正定矩阵，令$Q=\begin{bmatrix} 12 & 0 \ 0 & 4 \end{bmatrix}$

解出$P=\begin{bmatrix} 10 & 2 \ 2 & 2 \end{bmatrix}$，$Pb=\begin{bmatrix} 2 \ 2 \end{bmatrix}$

令$\theta_f$和$\theta_g$中初始值都为0.1 ，两个模糊基函数$\xi(x)=\eta(x)$。由下图构建自适应控制器

首先确定各个模块的输入输出：

• 自适应律：输入为e，ec，$\xi(x)$，$\eta(x)$，u；输出为$\dot{\theta_f}$，$\dot{\theta_g}$
• 模糊基函数：输入为$x_1$，$x_2$；输出为$\xi(x)$，$\eta(x)$
• 积分器：给$\dot{\theta_f}$，$\dot{\theta_g}$积分，初始值设定均为0.1
• 模糊控制器：输入为${\theta_f}$，${\theta_g}$，$\xi(x)$，$\eta(x)$，e，ec，$\ddot{ym}$；输出为u

均选择用matlab function模块

模糊集函数：$\xi(x)=\eta(x)$，e和ec均选择范围为[-1，1]，隶属函数如图所示，模块代码如下，输出的$\xi(x)$是个25×1的列向量。

function xi = Fuzzy_Basis(x1, x2)
mu1_NB = max(0, min((-0.5 - x1)/(-0.5 - (-1) + eps), 1));  
mu1_NS = max(0, min((x1 + 1)/(-0.5 + 1 + eps), (0 - x1)/(0 - (-0.5) + eps)));
mu1_Z  = max(0, min((x1 + 0.5)/(0 + 0.5 + eps), (0.5 - x1)/(0.5 - 0 + eps)));
mu1_PS = max(0, min((x1 - 0)/(0.5 - 0 + eps), (1 - x1)/(1 - 0.5 + eps)));
mu1_PB = max(0, min((x1 - 0.5)/(1 - 0.5 + eps), 1));  

mu1 = [mu1_NB, mu1_NS, mu1_Z, mu1_PS, mu1_PB];

mu2_NB = max(0, min((-0.5 - x2)/(-0.5 - (-1) + eps), 1));  
mu2_NS = max(0, min((x2 + 1)/(-0.5 + 1 + eps), (0 - x2)/(0 - (-0.5) + eps)));
mu2_Z  = max(0, min((x2 + 0.5)/(0 + 0.5 + eps), (0.5 - x2)/(0.5 - 0 + eps)));
mu2_PS = max(0, min((x2 - 0)/(0.5 - 0 + eps), (1 - x2)/(1 - 0.5 + eps)));
mu2_PB = max(0, min((x2 - 0.5)/(1 - 0.5 + eps), 1));  
mu2 = [mu2_NB, mu2_NS, mu2_Z, mu2_PS, mu2_PB];

xi = zeros(25, 1);  % 初始化25维向量
idx = 1;            % 索引计数

%遍历x1的5个模糊集
for i = 1:5
    % 遍历x2的5个模糊集
    for j = 1:5
        xi(idx) = min(mu1(i), mu2(j));  % 规则触发强度=min(前件1, 前件2)
        idx = idx + 1;
    end
end
%数值稳定性处理（避免极小值/NaN）
xi(isnan(xi)) = 0;   %NaN替换为0
xi(xi < 1e-6) = 0;  %极小值置0
end

自适应律模块：将$Pb=\begin{bmatrix} 2 \ 2 \end{bmatrix}$，$\gamma_1=10,\gamma_2=5$都代入

function [thetaf_dot,thetag_dot] = adapted(e,ec,xi,u)
    thetaf_dot=(-20*e-20*ec)*xi;
    thetag_dot=(-10*e-10*ec)*u*xi;
end

控制律模块：将$k_2=3，k_1=2$代入

function u = controller(thetaf,thetag,e,ec,xi,yddotm)
    f_hat=thetaf'*xi;
    g_hat=thetag'*xi;
    g_hat = g_hat+1e-3;
    g_hat = max( double(g_hat) + 0.2, 0.2 );%为防止g_hat为0无解或者为负，限制最小值
    u=(-f_hat+yddotm+2*e+3*ec)/g_hat;
    u = max(min(u, 0.5), -0.5);
end

积分器模块：针对$\dot{\theta_f}$，$\dot{\theta_g}$

然后将各输入输出连接起来有

其中右上角的Fuzzy_Basis是模糊基函数，左上角adapted是自适应律，左下角controller是控制律

4 控制器响应

设置ψ初值为0，分别给不同的跟踪信号和扰动信号

4.1 常规模糊控制器

4.1.1 $\psi_{ref}=0.5\times 1(t)$

当无扰动：

当扰动为𝑑(𝑡)=0.1𝑠𝑖𝑛(0.1𝑡)

当扰动为𝑑(𝑡)=𝑛(𝑡)（均值为0，方差为0.01的白噪声）

4.1.2 $\psi_{ref}=0.2sin(0.1t)$

当无扰动：

当扰动为𝑑(𝑡)=0.1𝑠𝑖𝑛(0.1𝑡)

当扰动为𝑑(𝑡)=𝑛(𝑡)（均值为0，方差为0.01的白噪声）

4.2 自适应模糊控制器

4.1.1 $\psi_{ref}=0.5\times 1(t)$

当无扰动

当扰动为𝑑(𝑡)=0.1𝑠𝑖𝑛(0.1𝑡)

当扰动为𝑑(𝑡)=𝑛(𝑡)（均值为0，方差为0.01的白噪声）

4.1.2 $\psi_{ref}=0.2sin(0.1t)$

当无扰动

当扰动为𝑑(𝑡)=0.1𝑠𝑖𝑛(0.1𝑡)

当扰动为𝑑(𝑡)=𝑛(𝑡)（均值为0，方差为0.01的白噪声）

5 两者对比

对常规模糊控制器，其在无干扰时对阶跃和正弦参考信号都能实现较好的追踪效果，追踪精度都较高，但是鲁棒性差，无论是确定的正弦扰动还是随机的噪声扰动，其响应均出现了振荡情况，对阶跃信号尤为强烈，虽然响应均值大概在0.5处，但是振荡相当剧烈，对正弦干扰几乎完全受其影响。

对自适应模糊控制器，对阶跃和正弦参考信号追踪精度都相当高，两种干扰类型都没能使其产生振荡。对阶跃信号不同的干扰类型的影响的只有超调量，对正弦信号噪声干扰的影响只是使其略微不平滑，大致上响应结果是精度非常高的，鲁棒性非常强。

常规模糊控制器的优势是结构简单，精无扰动时精度较高，通过修改不同的隶属函数和规则来调整控制的效果，但是控制鲁棒性很差，而且由于定义隶属函数时需要事先确定好输入和输出量的范围，否则超出范围会出现失控的情况，并且还需要确定什么样的范围对于什么样的模糊子集，这种具体数值的对应关系是要实现研究被控对象得到的，如果对于一个输入输出量范围不清楚的系统，不适合用此控制器。

自适应模糊控制器，精度高，鲁棒性极强，但是缺点是结构非常复杂，其模糊基处理也需要事先了解输入的范围，但是模糊子集对应关系不必了解，通过调整相关参数如$K,\gamma,P,Q,b$等来调整控制效果，而且运算时还需要注意$\hat g(x|\theta_g)$不能为0，u不能为负等情况，需要进行一定的限幅或者滤波处理。适用于大部分系统，无论是线性还是非线性，无论系统的$f,g$是否已知，都可以直接使用，因为其可以根据被控对象自适应调节参数。